黎曼：超前时代160年的现代数学造物主

张立武

黎曼：现代数学的“造物主”，一个超前时代160年的人



黎曼
“为什么我们要学黎曼积分？黎曼几何跟现实世界到底有什么关系？”
这个问题，几乎每个数学系的学生都问过。课堂上老师讲黎曼曲面、黎曼猜想、黎曼空间，你记了一堆笔记，可心里还是懵的——这些东西到底有什么用？
答案是：现代数学和理论物理，几乎都是在黎曼搭好的框架里跳舞。
不是夸张。从爱因斯坦的相对论，到今天的弦理论；从代数几何到数论；从拓扑学到偏微分方程——随便挑一个当代数学的前沿方向，往根上刨，十有八九会刨到一个人：伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）。
一个用“想法”而不是“计算”统治数学的人
黎曼生前只正式发表了论文9篇。这个数量，放在今天，可能连个副教授都评不上。欧拉写了近900篇，高斯也有上百篇，柯西更是著作等身。可就是这区区9篇论文和少量遗稿，硬生生把数学从“古典”拽进了“现代”。
为什么？

黎曼
因为黎曼不搞“解题”。高斯和欧拉是解题高手——你扔给他们一个问题，他们能算出答案，而且算得比你快、比你漂亮。黎曼不一样。他干的活儿，是重新定义“问题应该怎么提”。
打个比方。高斯和欧拉是在已有的地图上探索，画得更精确、更详细。黎曼是直接把地图撕了，告诉你：你们之前用的坐标系是错的，地球不是平的，空间是可以弯曲的。
这话说出来容易，但你想过这意味着什么吗？在黎曼之前，几何学就是欧几里得那套，两千多年没动过。人们觉得“平行线不相交”是天经地义的，就像太阳从东边升起一样不需要证明。黎曼说：不一定。我可以定义一种空间，里面平行线会相交，三角形内角和大于180度。不是他在胡扯——他给了你一套严格的数学框架，让你可以在这种弯曲的空间里做计算、推定理。
这就是黎曼几何的诞生。1854年，黎曼在哥廷根大学做了一场就职演讲，题目叫《论几何学的基本假设》。在场的老教授们听得目瞪口呆，高斯据说也被震住了。那场演讲，后来被公认为数学史上最重要的演讲之一——因为它埋下了广义相对论的数学基础。五十年后，爱因斯坦要找一套数学工具来描述弯曲的时空，翻遍了文献，发现黎曼一百年前就给他搭好了。
黎曼的工作，不是开创分支，而是创造数学
很多数学史的书会告诉你：黎曼开创了黎曼几何、黎曼曲面、复分析、解析数论、代数几何……
这话没错，但太轻了。
开创一个分支，和创造一种“数学的语言”，是两回事。
举个例子。微积分是牛顿和莱布尼茨开创的，这没问题。可后来的分析学发展，是沿着他们搭的架子往前走吗？不完全是。我们今天的分析学教材，写的是极限的ε-δ语言，是柯西和魏尔斯特拉斯的贡献；我们讲的复变函数，核心是柯西-黎曼方程，一半是柯西的，一半是黎曼的；我们用的微分形式、流形上的积分，那是黎曼之后好几代人的工作。
换句话说，黎曼不是在你已有的工具箱里加了一把新扳手——他告诉你：你的工具箱是错的，我给你重新设计一套。
拿黎曼曲面来说。这是个什么东西？简单讲，就是把复变函数放在一个曲面上来研究。听起来也没什么大不了。可就是这个想法，把分析、几何、拓扑、代数四个领域拧在了一起。今天代数几何的中心定理之一——黎曼-罗赫定理，就是在这个框架里诞生的。英国数学家阿蒂亚（Michael Atiyah）说过，杨-米尔斯理论（现代物理的标准模型之一）本质上就是黎曼-罗赫定理的推广。一个19世纪的纯数学定理，成了20世纪物理学的核心工具，这事儿本身就够离谱的。
再说黎曼猜想。1859年，黎曼写了一篇八页的论文，题目叫《论小于给定数值的素数个数》。这篇论文，后来成了解析数论的圣经。黎曼在文章里提了一个猜想：黎曼ζ函数的所有非平凡零点，实部都是1/2。

160多年了，没人能证明它。可这160年里，数学家们已经从这个猜想里推导出了上千条定理。如果哪天有人把它证出来了，整个数论的面貌都会改变。美国克雷数学研究所把它列为“千禧年七大难题”之一，悬赏一百万美元。但说实话，一百万美元买不到这个猜想的价值——它背后牵扯的，是素数分布的深层规律，是整个数论的基础结构。
一篇八页的论文，养活了一个学科一百六十年。这事儿，除了黎曼，还有谁干过？
跟其他数学家比一比，你就知道黎曼有多“不讲道理”
我们拿几个人出来比比。

高斯
先说高斯。高斯是“古典数学的集大成者”，数论第一人，微分几何的鼻祖，代数、分析、天文、物理样样精通。他太全能了，全能到你挑不出毛病。可高斯的弱点是：他没有真正“超越”自己的时代。他做的所有东西，都是在已有的框架里做到极致。他改良了工具，但没有重新发明工具。
黎曼不一样。黎曼是高斯的学生，但他的工作，几乎是在否定老师的方向。高斯说“曲面由外部空间决定”，黎曼说“曲面的性质由内部度量决定，不需要外部空间”。高斯研究的是二维曲面的局部性质，黎曼直接推广到任意维度的流形。这个“内部度量”的观点，后来成了广义相对论的核心——时空的弯曲，不需要一个外部的“更高维空间”来解释，它自己就是弯曲的。
再说欧拉。欧拉是“分析学的化身”，著作等身，统治了整个18世纪数学。欧拉的伟大之处在于他把微积分从牛顿的物理语境里解放出来，变成了一门独立的数学语言。但欧拉的工作，本质上还是“计算”。他发明了无穷级数、欧拉公式、变分法，都是在已有的框架里往里填东西。他填得比别人多、比别人快，但框架本身，是前人搭的。

欧拉
黎曼做的，是直接把框架拆了重建。
再说庞加莱。庞加莱是黎曼之后创造力最爆棚的数学家，拓扑学的创始人，智力难度史上第一。他的工作天马行空，充满奇思妙想。可庞加莱有个问题：完成度不够。他找到了金矿，但金矿在悬崖上，他自己没爬上去，后人也爬不上去。拓扑学在他之后，基本陷入停滞，到现在还在等他指路。

庞加莱
黎曼不一样。黎曼给的不是一个“粗糙的构造”，而是一个完整的、可操作的体系。他不但找到了金矿，还给你画了地图，留下了工具，指了上山的路。你沿着他指的路走，确实能挖出金子来。这就是为什么黎曼的思想“迄今仍然在给数学家们无数有益启发”，而庞加莱的思想，至今还是“一座悬在悬崖上的金矿”。
最后说格洛腾迪克。格洛腾迪克是当代抽象结构数学的巅峰，代数几何的集大成者，他的影响力和深度，在20世纪无人能出其右。可他的工作，本质上是在黎曼开创的方向上深化。黎曼-罗赫定理是代数几何的中心定理之一，格洛腾迪克把它推广到了更抽象的层面。换句话说，格洛腾迪克是在黎曼搭好的框架里做“内部装修”——他把这栋楼盖得更高、更宏大、更抽象，但地基是黎曼打下的。

格罗滕迪克
黎曼的秘密武器：他是在脑子里看见数学的人
黎曼做数学的方式，跟绝大多数数学家都不一样。
大多数数学家是靠逻辑推演。你给我一组公理，我用逻辑推导出定理。这是数学的“标准操作”。黎曼不是这样。他是靠直觉和想象。他在脑子里“看见”曲面、流形、空间，然后用数学语言把这些图像翻译出来。
这种能力有多可怕？你想想，黎曼几何里的“流形”概念，是一个抽象的高维空间，没办法画出来，没办法直观想象。可黎曼是在完全没有先例的情况下，纯粹靠脑子里的想象，把这个概念给“造”出来的。
他提出“力即几何”的时候，物理学家还在用牛顿的万有引力公式，觉得“力”是物体之间的相互作用。黎曼说：不对。力是空间弯曲的表现。这句话，在1854年说出来，跟说“月亮是奶酪做的”一样离谱。可一百年后，爱因斯坦证明了，黎曼是对的。
华人数学家丘成桐说过一句话：中国学生里，只要有人能完成黎曼一篇论文中的部分内容，这个人就能成为中国最伟大的数学家。这话有点夸张，但意思是清楚的——黎曼的思想太深了，深到你挖了一百五十年还没挖到底。
黎曼到底“超越时代”在哪儿？
超越时代的意思，不是“比同时代的人聪明”。这世界上聪明人多了去了。
超越时代的意思是：他的思想，在他活着的时候，绝大多数人理解不了；他死后几十年，人们开始理解，发现这玩意儿有用；一百多年后，它成了整个学科的基石，而且还在不断地被挖掘出新东西。
黎曼的几何学，在他死后五十年，因为相对论而被重新发现。他的黎曼猜想，一百六十年了，还没被证明，但已经被用来推导出了上千条定理。他的黎曼曲面和黎曼-罗赫定理，成了代数几何的核心工具，被格洛腾迪克发扬光大。他的流形概念，成了现代数学和物理的通用语言。
他一个人，把几何、分析、数论、拓扑、代数全捏在了一起，还给物理学搭好了桥。这事儿，除了黎曼，还有谁干过？
高斯是古典数学的集大成者，欧拉是分析的化身，庞加莱是创造力的怪物，格洛腾迪克是抽象结构的神。可他们都是在黎曼搭好的框架里，各自走到了极致。
黎曼不是“走得更远”的人——他是那个“指方向”的人。
这就是为什么，黎曼是现代数学的源头。
不是因为他算得最快，不是因为他写得最多，甚至不是因为他活得够久——是因为他重新定义了“数学应该长什么样”。在他之后，数学的面貌彻底变了，而且这个变化，还在继续。