自然底数e的美妙之处：探索数学中的神奇常数

单丁鹤纷

“自然底数e”到底有多美？



数学之美，在于逻辑，逻辑之美，取法“自然”。这个世界无与伦比的美，莫过于“大自然”的鬼斧神工。我们在高中阶段接触了一个有趣的常数，那就是“自然底数e”。人们都说，这是一个非常美妙的常数，因为它的美同样来自于“自然”。那么这个来自于“自然”的常数，到底有多美呢？
早在遥远的古希腊，泰勒斯就提出要摆脱“神学”的羁绊，向“大自然”寻找规律，以解决人们生产、生活中的难题。无论是泰勒斯的哲学思想、数学成就还是他的科学精神，在西方世界都是史无前例的，对后来者产生了深远的影响，因而被人们尊称为“科学之祖”。
他的学生毕达哥拉斯继承并发扬了他的精神，创建了自己的学派，对“数”的崇拜超过了“神”的地位，他提出了“万物皆数（指整数）”的理论，认为统治这个世界的不是神，而是从“大自然”中总结出来的规律——“数”。
“大自然”之美，在于它的“无穷”。“大自然”的“无穷之美”令人无法捉摸，甚至神秘的令人恐惧。在遥远的古希腊海滩上，毕达哥拉斯带领着他的门徒们在海滩上摆出各种各样的“数列”：“自然数列”、“三角形数列”、“四方形数列”。人类的先行者们，正是用这种朴素的方法尝试去探寻“大自然”的规律。人们借助“数列”，从“事物规律”的认识由“局部”扩展至“整体”，从“有限”扩展至“无穷”。——这是人类的先行者最早运用的“归纳猜想”。

既然“自然数列”可以描述成一条直线，“三角形数”、“四方形数”也可以描绘成由“直线”组成的“几何图形”。那么曲线该如何描述呢？
在大自然中，富有诗意的曲线有很多种，然而人们认为最迷人的“曲线”则是“对数螺线”。
1638年，著名的数学家笛卡尔最早用“解析式”描述了“对数螺线”。接下来的数学家们对“对数螺线”所展现出来的美显得无比痴迷，瑞士数学家雅格·伯努利在逝世前就请人打造了一块墓碑，在墓碑上刻下了美妙的“对数螺线”，同时写上“我将按着原来的样子变化后复活”的墓志铭。
“对数旋线”所展现出来的美在大自然中随处可见，比如蜗牛的外壳的螺旋外形，向日葵籽的螺旋排布，夜空中呈螺旋形的星云，大海的螺旋涡流等。这些美妙的“对数螺线”都可以用“指数”描述成： φkρ=αe 。其中α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是“自然对数”的底。产生这种美妙“对数螺线”最核心的原因正是“自然底数e”。那么，“自然底数e”到底是如何得来的呢？
这个神秘的“自然底数e”就是由一个“数列”的“极限”产生。这个“数列”可以用这样一个通项公式描述：{ ( 1 + 1/n )^n }。“n”分别用“自然数列1、2、3、4……”一一来代入，直至“无穷”，当n为“正无穷”时，该“数列”取得的“极限”就是e，即e = lim (1+1/n)^n（e≈2.71828182845904523536……）。然而，这个“自然底数e”在数学中到底有什么用呢？

顾名思义，它最为重要的作用是作为“自然对数”的底。16世纪，随着天文、航海等领域的发展，大量的数据计算令人们感到非常头疼，当时正在研究天文学约翰·纳皮尔为了解决这些计算难题，发明了对数。对数的发明给人们繁重的计算带来了前所未有的简便。
刚开始时，人们常用对数的底为10，称为“常用对数”。后来又发现用“e”作为对数的底时，会使很多复杂的运算变得极为简单。以至于科学家们在科学理论研究中，更喜欢用“自然对数”。
在“指数函数”里，“自然底数e”还有一个更为重要的作用。那就是用来求“指数函数”的“导数”。大约1730年，欧拉定义互为逆函数的“指数函数”和“自然对数”。随着“微积分”的建立，人们发现，“指数函数的导数”与其“自身”成一定比例。于是，人们就将e^x的“导数”等于其“自身”，以此求出“指数函数”的导数。然后我们用“对数”把其他“指数函数”都换成“以e为底数的指数函数”，这样我们就能根据“e^x导数等于其自身”的定义求出其他“指数函数”的“导数”了。
无论是“社会科学”还是“自然科学”中所表现出来千奇百怪的现象，其背后都有“指数函数”的影子，其重要的特点就是“变化率”和其本身“当前的值”的关系，“当前值”会随着“变化率”的增大而增大（或减小）。这个“变化率”实际上就是“导数”。

还有一个最令人们津津乐道的就是由e所组成的最美公式“欧拉公式”：e^iπ+1=0。这个公式的原型其实是这样的：e^ix=cosx+isinx，这个公式的巧妙之处是它将三角函数的“定义域”扩大到了“复数”范围，从而在“三角函数”与“复指数函数”之间架起了桥梁，它在“复变函数论”里占有非常重要的地位。 如果将e^ix=cosx+isinx进行一系列的“证明推导”，然后将其中的“x”的值取为“π”就得到： e^iπ+1=0。这个恒等式就是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，这个公式到底蕴含着怎样的秘密，还等待着人们去逐一解开。