最迷人的数学常数：π——其神奇和美丽无处不在

兰905

圆周率，即圆周长与直径之比——3.1415926535……它一直循环下去，没有重复，这意味着在这个小数串中包含的是每一个其他的数；你的出生日期，你的储物柜密码，你的社保卡号等等。它就在那里的某个地方。如果你把这些小数转换成字母你就会得到所有可能组合的单词。世界上所有的无限可能都在这个简单的圆里。







圆周率是圆周长与直径之比。

数学家们还没有证明圆周率具有“正态”的特征。换句话说，数学家们不确定圆周率是否包含从0到9的所有有限长数字排列。他们不确定是否每一位数字都在一定的时间或无限次之后继续出现。




如果继续下去，没人知道π的位数是多少。例如，当我们检查圆周率的前10亿个数字时，我们看到数字7出现了近1亿次。这使得π成为一个很好的随机数生成器。然而，在某些点之后，圆周率可能不包含数字7，而是可能只有两个或三个数字的非重复数字，如0102031122330001122333……
例如，在圆周率的前761位之后，有一个著名的数学巧合，6个9排成一排，这被称为费曼点。



但是我们可以确定的是pi的数字是无限的，并且是随机的。这使得π很有趣，因为π的值是有限的，然而，它的小数值是无限长的。这并不矛盾。圆周率是一个常数，因为它是一个圆的周长和它的直径的比值，这两个值都是有限的。不过，我们仍然需要一个近似的值。

1768年，约翰·兰伯特证明了圆周率的值是一个无理数，它不能写成一个有理的简单分数。22/7是一个常用的近似值，但不包含π的所有数字。这是因为无理数不能写成两个数之比，没有规律可循。1882年，费迪南德·林德曼证明了圆周率是一个超越数。
我们可以有把握地说圆周率是先验的，因为数学家Yasumasa Kanada发现圆周率的前1万亿个数字在统计上是随机的。如果你查看下表，你会发现每个数字发生的事件是独立的，并且它的概率是时间的十分之一。



1万亿位圆周率中0到9数字出现的次数

多年之后，艾玛·春子·伊沃在2019年发现了34.1万亿位数的圆周率，他的电脑花了121天时间才得到。你可以这样想象；如果你要用正常大小的普通字体打印10亿位圆周率的，那么它的长度将从北京一直延伸到上海。
然而，34.1万亿的数字仍然不足以证明圆周率是否正常。超级计算机仍在处理这些数字。如果你查看下面的图表，你会看到已知的圆周率的位数，从公元前250年开始的年份



即使在31万亿位数之后，我们仍然没有接近圆周率的终点。

我们可以很容易地在π中找到我们的生日。如果你去一个网站输入你的生日，它会给你圆周率的小数点。例如，老胡生日在第480681位小数。如下图：



如果π是一个正常的数字，那么我们可以说我们的整个命运都被编码在π中。我们以后要拍的照片都是圆周率因为图像后面有二进制数。所有的数字产品都在π中。此外，每个生物的DNA都在π中。

有一种有趣而艺术的方式来展示圆周率的随机性。一些科学家可能对他们单调乏味的散点图很满意，但也有一些艺术家使用颜色来进行数据可视化，以便与公众交流。马丁·克日文斯基就是这样一位艺术家，他在圆周率的随机性中发现了美和艺术性。他把圆周率的数字用不同的颜色表示。例如，他给了3个橙色的，1个红色的，4个黄色的，等等。然后他做了一张漂亮的海报。如果你仔细观察，你不会看到任何特定的颜色图案。






除了有这么多关于圆周率的有趣事实外，它也是迄今为止数学史上被研究最多的数字。很多人想记住圆周率的数字，而不是其他无理数的数字。它使人们陷入疯狂和混乱。几个世纪以来，数学家们一直在努力精确地计算圆周率。

那么，我们是应该停止研究π，还是应该继续寻找更好的近似值呢？假设等于3.14够好了吗？或者，用圆周率的40位数字来计算银河系的周长，其误差小于质子的大小，这就足够了吗？前152位数字是否足以发现930亿光年的可观测宇宙的周长。有成百上千的数学家多年来一直在试图找出更多的圆周率的位数。这就像试图去月球，然后去下一个行星，但是为什么呢？为什么数学家还要计算更多的数字呢？为什么34.1万亿位数的圆周率还不够？是因为圆周率潜伏在每个圆里吗？



每一个旋转都是π的表达

逻辑上的原因似乎很神秘；这是因为圆周率是一个很好的产生随机数的源。然而，真正的原因似乎是国家可以向其他国家炫耀他们的技术，因为计算万亿位数的圆周率需要一个非常强大的计算机。例如，在《星际迷航》的折叠中的狼(Wolf in the Fold)中，斯波克命令邪恶的计算机“计算到Pi的最后一位”，从而挫败了它。因此，要求计算机计算圆周率被称为“压力测试”，可能会使它崩溃。
另一方面，我们人类是笨拙的创造者。待在家里喝茶是一件很美妙的事情，但是当我们感到无聊的时候，我们就会去爬最高的山，遇到老虎，或者像吕超那样去记住圆周率的数字，他能正确地记住圆周率的前67,890位。我们将继续做这些事情，因为我们喜欢了解我们周围的世界。
1962年9月12日，约翰·肯尼迪发表了关于太空计划的演讲。他说：
到目前为止，在外层空间还没有冲突，没有偏见，没有民族冲突。它的危险对我们所有人都是有害的。征服它值得全人类付出最大的努力，而和平合作的机会则可能一去不复返。但有人说，为什么是月亮呢？为什么选择这个作为我们的目标？他们可能会问，为什么要爬最高的山？我们选择去月球。我们选择去月球在这个十年和做其他的事情，不是因为他们很容易，而是因为它们困难，因为这一目标将组织测量最好的精力和技能，因为这个挑战是我们愿意接受，我们不愿意推迟，并且我们打算赢。




我们不可避免地与过去联系在一起，而《少年派》是贯穿人类历史的一根线。这就是为什么我们会说，只要有人类，总有人想知道下一个是什么。我向你们保证，在世界的某个地方，有一个数学家或科学家在用圆周率来表示对我们的宇宙很重要的东西，因为圆周率仍然是神秘的自然常数。

发现π
前面的说法是完全正确的，因为总是有人在Pi上工作。数学和文明一样古老。人类研究圆周率已经将近4000年了。当最后的猛犸象灭绝时，人们开始研究圆周率。据我们所知，古希腊的阿基米德是最早计算圆周率的人之一。他很可能是在帮助车轮制造商。但他是如何估算的呢？
首先，他看到所有的多边形都是一个圆。根据阿基米德的理论，如果你不断增加多边形的边数，你就会更接近完美的圆。换句话说，五边形比正方形更圆，而六边形比五边形更圆，以此类推……因此，传说中的数学家阿基米德在两千多年前就把圆定义为拥有极多边的正多边形。




他的定义是有用的，因为测量一个曲面是很难做到准确。他找到了一种求圆周长的方法。首先，他画了一个四角与圆周相接的正方形，求出了内切正方形的周长。然后，他又画了一个正方形，它的边沿也与圆的周长相接，并找到了这个正方形的周长。他得出的结论是，这个圆的周长必须位于这两个周长的值之间。
然而，使用这种方法，当他使用正方形时，这两个值之间的差异非常大。他画了五边形来表示圆周的上下界。他那时的活动范围很小。在那之后，他不断地增加多边形的面数，他画的是圆内和圆外的面。每当他这样做时，他的估计就越来越准确。阿基米德得到了一个96边的正多边形，直到他筋疲力尽。他发现π的上限和下限分别是3.1408和3.1429。
阿基米德的方法需要改进，因为他的寿命不够长，无法手工找到圆周率的其他数字。数学家需要发现更有效的公式和新技术。
伟大数学家对代数的采用激发了一种全新的世界观。计算圆周率的下一个伟大飞跃是微积分的发明。之后，数学家们开始研究无穷级数。无穷级数是一个把数字一个接一个加起来直到无穷的表达式，有时这些无穷级数收敛于一个特定的值。
现在有很多计算圆周率的方法。戈特弗里德·莱布尼茨发现了无穷级数的π。詹姆斯·格雷戈里找到了pi的方程。他正在研究下面的反正切函数的一个惊人的无穷级数。他把无穷多个小数字加在一起，就得到了。




他把x = 1代入反正切级数。他告诉我们，走得越远，就越接近π的值。然而，为了得到π的10位数字，我们需要写出大约50亿个分数来相加。







之后,另一位伟大的数学家欧拉，正式采用希腊字母“π”符号代表π的价值。这个符号变得具有标志性。欧拉的π方程计算一个无限和，巴塞尔问题就是以他的名字命名的。




欧拉还用π写出了另一个美丽的等式，欧拉恒等式。




由于印度数学家拉马努詹对圆周率的痴迷，我们有很多新的公式来求圆周率。当他从印度来到剑桥时，他带来了一个笔记本，里面有400页的公式来计算圆周率。




在机械计算机发明之后，数学家们使用莱布尼茨、欧拉和拉马努詹的无穷级数来计算1万亿位的圆周率。如果没有超级计算机，要找到这么大的圆周率数字会很困难。例如，数学家威廉·尚克斯手工计算了圆周率的前707位，但不幸的是，他在第527位之后犯了一个错误。

π无处不在



Spirographs是一种数学模型，其中不同的旋转变量会产生不同的结果。

孩子们从5年级开始学习圆周率，并一直使用到大学毕业。即使在那之后，大多数人还是会在孩子上学的时候使用圆周率。圆周率在宇宙中无处不在，在我们的生活中无处不在。它真的被编织进了我们的宇宙;行星的轨道、电磁波、河流、极光的颜色、DNA的结构、吉萨大金字塔……



如果一个科学家想要描述宇宙的结构或者发现行星之间的关系，他/她肯定需要使用圆周率。因为任何涉及到圆或球的都是关于的。圆圈出现在自然界中，无论是肥皂泡还是夜空中的月亮。这就解释了为什么数学在科学的各个领域都很重要。π帮助我们了解不同物理过程背后的数学思想。




弯曲的河流

圆周率与地球上的河流有直接的关系。为了解决这个问题，我们需要用两种不同的方法来测量一条河的长度。假设我们知道河的起点和终点。首先，我们需要实际长度来看看这条河有多弯曲。换句话说，你需要从起点游到终点的距离。整个长度是L。第二，我们需要找到一条直线的长度。换句话说，这次我们需要从头到尾飞一遍。这条直接路径是小写的“l”现在我们可以写出弯曲度的公式，通过L除以L，弯曲度是一个比率，用来测量河流的弯曲度。



这里重要的是，弯曲度没有限制。这条河可以弯曲得很厉害。然而科学家证明，世界各地的河流的平均弯曲度是π。如果你找到所有河流的弯曲度，并取它们的平均弯曲度，你应该得到π。

关于弯曲还有一个有趣的事实。河流在某些地方可能非常弯曲。我们预计会有很高的曲折度。但是突然之间，这些河流变直了，使得弯曲度等于π。所以，很难找到一条河的弯曲度等于7，因为流体动力学。数学家们发现，最大的弯曲度在3.5左右，最小的弯曲度在2.7左右。
一段时间后，河流会变得非常混乱。然后他们突然恢复正常。在最弯曲的地方，河流在弯曲点后切断，然后抄近路变直。这种现象被称为牛轭湖，它控制着河流的弯曲度。这样就保持了圆周率附近河流的弯曲度。



太空中的π

在我们的宇宙中存在着一种固有的数学秩序。例如，为了了解我们的太阳系，我们需要圆周率。我们知道我们的行星在它的主恒星前面运行。而光线来自恒星。要谈论那道光，我们需要知道主星有多大。换句话说，我们需要主恒星的表面积。一个球体的表面积公式是4πr^2， r是恒星的半径。行星的大小也有助于科学家猜测它是否适合居住。



地球每运行8圈，金星就会绕太阳运行13圈。

另一个展示pi和宇宙之间关系的好例子是静电力，它是两个电荷之间的力。电子向各个方向施力，形成一个球体场。电子在电场中也相互作用。为了求出相互作用，我们需要找到球体的表面积，这里再次出现=。
圆周率和重力之间也有联系。如果你有机会看到爱因斯坦的场方程，你可能会注意到圆周率也在那里。




上面的公式计算了大质量的物体，如恒星和星系，如何利用它们的重力来弯曲空间和时间。爱因斯坦说，就像一个球坐在床单上，任何形式的动量和能量也可以弯曲它周围的时空。
所以Pi是宇宙的重力，能量，动量和所有包含在其中的物体的一部分。而不是其他的无理数。如果你取地球重力的平方根，你几乎得到π。






π是光波的一部分。波创建颜色。波产生的声音。波创造运动。

在大自然中寻找圆周率
无穷级数不是求的唯一方法。有一些很酷很有趣的活动可以让你自己去估算圆周率。其中一个叫做蒙特卡罗方法。假设您在一个1×1的网格中工作。你在0和1之间生成对来绘制坐标平面上的点。如果你继续画这些点，你会发现有些点到原点的距离小于1，有些点到原点的距离大于1。过了某个点，你会看到你得到了一个四分之一圆。如果您发现该季度圆的面积，几乎为π/ 4。下面有一个1000点的例子。



如果你不想处理计算机编程，那么你可以用一支铅笔和一张纸来做这件事。你只需要画一个半径为1的圆，然后在圆周围画一个正方形。正方形的面积是4，因为圆的直径是2。现在，如果您拿着铅笔并闭上眼睛，并在纸上多次放置随机点，最终您的点落入圆内的百分比将接近π/ 4。这样您就可以感觉像阿基米德一样。

布冯的针
当没有互联网的时候，孩子们常常玩在地板上扔硬币，看硬币是否越过线。法国哲学家、数学家乔治·路易斯·勒克莱尔决定计算出硬币越过一条线的概率。非凡的发现！
他先把一根针扔在一张有横线的纸上，然后确定针穿过纸上一条线的概率。然后他用许多针做了很多次实验。他取得了非凡的成绩。这个概率与永无休止的pi值直接相关，因为他扔下去的针数的2倍除以穿过一条线的针数几乎一直等于pi。于是他得出了一个公式：
P：概率| n：针的数量| c：穿过一条线的针的数量。
然后：P = 2 n / c

在勒克莱尔之后，一位意大利数学家，拉扎里尼，为了做这个实验，扔了将近4000次针。他准确地得到了圆周率。他得到了圆周率的前六位。
你可以查看下面的蒙特卡罗模拟。gif显示了不同牙签数量的pi估计值。



扔1000根针来估计pi

π的一天
在研究圆周率的漫长历史之后，人们决定在3月14日组织一次正式的圆周率庆祝活动。从1988年开始，人们就在3月14日庆祝这个神奇的日子。有一个有趣的巧合，阿尔伯特·爱因斯坦出生于1879年3月14日的圆周率日。爱因斯坦还在圆周率日发表了他的广义相对论。




总而言之，数学是一种铭刻在人类大脑中的语言。圆周率就是那个语言中的一个词。约翰·肯尼迪知道月球并不是无限遥远的，于是他去了月球。我相信总有一天，伟大的数学家们会发现圆周率的所有神秘数字。