一个看似简单实则复杂的悖论，困扰了人类两千多年

刘moon

人类科学发展过程中，总会出现某些矛盾，甚至是哲学上的矛盾。其中有一个悖论非常著名：阿基里斯悖论，也被称为“阿基里斯与龟”。
相信很多人都听过这个悖论，这里简单说一下。



阿基里斯与乌龟赛跑。阿基里斯的速度是乌龟速度的十倍，由于乌龟跑得很慢，阿基里斯先让乌龟跑100米，然后再进行比赛。

接下来会发生什么？
当阿基里斯跑100米的时候，也就是乌龟出发的位置，乌龟跑了10米。而当阿基里斯跑10米的时候，乌龟跑了1米。阿基里斯跑1米的时候，乌龟跑了0.1米……
可以看出，阿基里斯跑的距离永远是乌龟之前跑的距离，也就是说阿基里斯永远在乌龟的后面，永远追不上乌龟。
但我们都知道阿基里斯很快就能追上乌龟，这只是简单的数学题。



这就是阿基里斯悖论。

类似的悖论还有很多，比如说平时我们经常做鼓掌的动作，假说开始鼓掌时两只手相距1米，当两只手相互靠近时，实际上是两只手之间的距离不断减半的过程。
最开始是1米，然后是0.5米，0.25米……
也就是说，击掌的动作会有无限多次数的减半过程，你就完不成击掌的动作。事实上并不是这样的。



到底为什么呢？

就如刚才所说，只是简单的数学问题，数学上已经搞定这种问题，只是现实中有时候并不太容易理解。
数学上是如何解决的呢？
两只手相距1米，然后是0.5米，0.25米……
那么相对左手，右手走过的距离S=0.5+0.25+0.125……
将上面的公式乘以2，我们得到2S=1+0.5+0.25……
下面的公式减去上面公式，很容易得到S=1。也就是说，即使是击掌过程经历了无数个过程，走过的距离还是1米。
当然花费的时间也是如此，假设两只手每靠近0.5米花费1秒，由于会经历无限多个步骤，是不是意味着要花费无限多时间呢？并不是，具体计算过程与上面是一样的。
在数学上，这样的无限级数被称为“良态”，也就是说即便有无穷多个项相加，总和趋近某个数，当有无穷多个数相加时，正好等于那个数。
但是有限的时间内是如何完成无限多个步骤呢？比如说击掌的过程，有无数个步骤，但并没有最后一步，你是如何完成击掌的呢？
这也是个悖论，困扰了人类两千多年。



如今物理学告诉我们，时间和空间并不是连续的，也不能被无限分割。数学上虽然不存在最小的数，但物理和现实中存在最小的时间和空间单位，那就是普朗克时间和普朗克长度，它们是最小的时间和长度单位，任何小于普朗克时间和普朗克长度的时间和长度单位都没有意义。