广义相对论的意义

兰905

年关将近，笔者就以“广义相对论与地球的关系”作为收尾之作。



认知即思索：场方程的意义

首先，描述物体的运动必须指明参考系，然而现实中不存在真正的惯性参考系，也就是平坦的闵可夫斯基时空。不过，我们以太阳为近似的惯性系足以描述地球了。



我们就以此来讲讲地球附近的“广义相对论”。地球附近用所谓的史瓦西度规绰绰有余，它是专门用来描述静态均匀球体的引力场的“勾股定理” （不同研究对象所用的度规各不相同，比如研究黑洞主要用克尔度规，描述辽阔无边的宇宙要用弗里德曼度规）。

什么是史瓦西度规呢？它长这样子：



这个线元方程包含了时间和空间。不过笔者并不打算讲明白它其中包含的数学，这也许需要至少30篇文章。该方程信息量巨大，里面蕴含着类似常量的东西，我们把它称为史瓦西引力半径，它的大小只取决于中心天体的质量，用符号rg表示：




将地球质量和引力常数带进去，就能求得地球的引力半径为8.9毫米。它可以被认为是“把地球压缩成一个黑洞后黑洞的半径是8.9毫米。”




引力时间公式

我们来研究一下史瓦西推出的线元方程，将史瓦西线元方程中的时间项单独拿出来，可以得到著名的引力时间公式：



这个dτ是“固有时间”，就是把一个物体放在“闵可夫斯基时空”里运行的时间，它类似于一种“理想的惯性参考系”，只不过闵可夫斯基时空在现实中是不存在的。

我相信诸位都知道一个重要结论：高处的时间比低处的时间过得更快。但是却不知道究竟快了多少。
如果假设高处时间为dt2，低处时间为dt1，那么：



这样处理，这样就把固有时间消去了，我们得到的就是实实在在的“高处时间”和低处时间之比。由于这个公式不那么明了，我们对它做泰勒展开：




于是就能得到：




我们还需要考虑狭义相对论，也就是物体运动的速率对时间的影响（狭义相对论的速度时间公式也用了泰勒展开进行近似）：




这个公式其实就描述了绕赤道运动的地球同步卫星相对于地球的时间差：





同步卫星的钟走得比赤道快一点儿。如果不加修正地让同步卫星就这样走上一天，那么将差出足足46微秒来，不要小看这46微秒，对于要求精确同步的雷达是难以容忍的。

如果地球两点间的高度差距并不怎么大时，我们令




就可以把上面的公式近似为：




我们看一下，一个高处（按2m算）的挂钟比戴在手上的手表走得快了多少？



差值非常小，我们无需担心自己的时间和别人的时间不匹配。这两个钟表各自走上一千年也只能相差1微秒。




引力空间公式

那么地球的引力是如何影响我们的空间的呢？其实黎曼空间对我们造成的影响微乎其微，回顾史瓦西度规，其中描述长度的那一项为：


它是非线性的微元，我们很难直接理解r究竟是如何“扭曲”的，不过我们可以借助两把尺子理解其中的奥秘：



我们知道在狭义相对论中，有尺缩效应：




这个公式很好理解，一个运动物体的长度会相对于静止者变短。L0的意义是固有长度，它也是在闵可夫斯基时空里面描述的。我们还是要按照之前处理速度那样写比例式：




按照同样的泰勒近似方式，我们可以得到：




我们发现，引力空间公式与引力时间公式有根本意义上的区别：




对于地表低处的空间，高处的空间总是“收缩的”，高处的时间相对于低处的时间却是膨胀的。两者恰好相反。但差值依然是微乎其微。