AMC 8 | 第四讲：麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆

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这是图解数学的第 4 期。
「图解数学」系列用学生看起来最为直观的图形，载12期，来解SAT/ACT/AMC8平面几何的考点，并提供中英文对照。
本期要点：

1.麦田怪圈中最常见的图形
2.内接圆与内心
3.外接圆与外心
4.有关内心与外心的常用比例

我小时候听说了一个有意思的事情：人们航拍时发现麦田或其它田地上，出现了农作物被压平而产生出的几何图案，这些图案有三角有圆圈，人们把这个现象称为麦田怪圈（Crop Circle）。
有人认为它是某些人故意做出来的；也有人认为麦田怪圈的出现是因为外星人或者某种怪力。至今人们对怪圈的成因还不确定，所以有“磁场说”“预告说”“高频辐射说”等多种说法。
无论那种说法，它的图形总是这样的：由圆和三角组合而成。可见，无论是任何国家的人或是外星人（如果有的话），都认为三角形和圆形的组合是最本质、最有趣的图案之一。
那么三角形和圆有哪些组合方式呢？我们今天就来学习一下。

在三角形内部，和三角形三边都相切的圆叫做内接圆 (inscribed circle)，这里补充讲一下相切 (touth) 的定义：圆和直线有且仅有一个交点叫做相切。所以内切圆的意思就是在三角形内部的一个圆，它和三角形三边所在的直线都有且仅有一个交点。
这样的圆怎么做出来的呢？
我们需要做三个角的角平分线 （angle bisector），三角形三个角的角平分线会交于一点，由角平分线的性质，这个点到三边的距离相等。

因为这个点到三边的距离 r 相等，所以以这个点为圆心，r 为半径做圆，圆就会和三边都相切，这个圆就叫做三角形的内接圆。

通过上述过程，我们知道，无论这个三角形长什么样，三角形内接圆都存在且唯一。内接圆圆心叫做内心 (incenter)。

讲完了内接圆，我们来讲和三角形密切相关的另一个圆。
在三角形外部，也有这么一个圆，刚好就过三角形的三个顶点。我们把这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle)。
这个圆怎么做出来的呢？
首先，我们要做每条边的垂直平分线 (perpendicular bisector)。注意，不是垂线，垂线是从顶点往边做垂直的直线。而我们现在要做的垂直平分线是先找出每条边的中点，然后做垂线，如下图。

三条边的垂直平分线交于一点，因为垂直平分线的性质就是到线段两端距离相等，所以垂直平分线的交点到三个顶点距离都相等，如下图蓝线。
我们以垂直平分线交点为圆心，相等距离 R 为半径做圆，就会经过三个顶点。这个圆就叫做三角形的外接圆。

通过上述过程，我们知道，无论这个三角形长什么样，三角形内外圆也都存在且唯一。外接圆圆心叫做外心 (circumcenter)。
最后我们来讲一个具体的三角形，以边长为 a 的正三角形为例，内接圆半径 r 以及外接圆半径 R 和三角形边长是什么关系？
我们把内接圆半径 r、外接圆半径 R 都在图中标出，发现和边长的一半刚好构成了一个30°的直角三角形，利用30°直角三角形三边的比例关系。可以算出：

有趣的是：正三角形内接圆半径刚好等于外接圆半径的一半。

今天你学习了《图解数学》的第四讲，了解内接圆和外接圆，也学会计算内接圆外接圆半径的技巧。恭喜你，又解锁了一个新章节。下次我们将学习垂心与重心。
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