困扰数学家70年的等角线之谜

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等角线是空间中相交于同一个点的一组直线，而这些直线中两两形成的夹角都相等。
在二维平面中，正六边形的三条对角线就是一组等角线，任意两条线形成的夹角都是60°。同时，这种情况也是二维中等角线数量的极限，换句话说，在二维中等角线最多有三条。




而在三维空间中，连接正二十面体相对顶点的6条线同样是一组等角线，它们两两之间会形成63.4°的夹角。这组等角线数量也是三维空间中的最大值。



三维空间中正二十面体和6条等角线。｜图片来源：Zilin Jiang / MIT

但对数学家来说，探索并不局限于三维空间。在一些数学家眼中，高维才真正让事情开始变得有趣，其中似乎包含着无限可能。
但对等角线而言，它们在高维中并不是无限的。麻省理工学院的赵宇飞和他的团队尝试解决了高维空间中这个直线几何的问题。这个问题困扰了研究人员至少70年。这项突破确定了高维中给定角度的等角线的最大可能数量。论文即将发表在2022年1月的《数学年刊》上。




当维度超过三时，我们不可能真正在脑海中想象得出等角线的构造是什么样子的，这也是为什么计算任何维度中等角线的最大数量是非常困难的。
自上世纪中叶起，等角线的极值几何研究已经开始受到广泛的关注。1973年，数学家莱门斯（P. W. H. Lemmens）和塞德尔（J. J. Seidel）在一篇发表于《代数学报》的论文中详细阐述了研究给定角度的等角线的最大数量的问题。
但之后的几十年，对相关问题的研究停滞了很长一段时间。直到几年前，2017年，数学家苏达科夫（Benny Sudakov）带领的研究团队在等角线最大数量的研究中取得了一些重要进展。
从本质上来说，苏达科夫沿用了研究“不可观察”的对象时经常使用到的数学方法。他们寻找其他类型的数学对象来表示直线的存在。简单来说，他们将这些直线和向量及其运算联系在了一起，并将其转化成矩阵。这样一来，线性代数的工具就顺理成章地被引入，从而进行进一步探索。


苏达科夫使用到的方法在二维中的简化版示意。｜图片来源：毛尖尖；素材参考：Lucy Reading-Ikkanda/QM

图论是一种研究点如何通过边相互连接的学科。借助图论的语言重新解构并分析这个几何问题后，研究的主要创新便随之显现。
在这个等角线问题中，图形的点就表示向量。点根据特定的颜色规则相互连接，将红色和绿色的线进行配置，从而构建出了一种截然不同的方式来审视原来那个问题。


类似的方法也可以应用在更高维度中，比如五维中8条直线的图和矩阵。｜图片来源：毛尖尖

在苏达科夫取得这项进展后不久，他前往MIT进行访问活动，并在组合学研究研讨会上谈到了他在等角线方面的进展。
赵宇飞在采访中表示，着手研究这个问题是因为他原本正在寻暑期项目课题，他认为等角线是一个有待解决的大问题，也相信团队可能会取得一些不错的进展。但最终完全解决整个问题绝对超出了他的预期。
在这项新研究中，团队仍然是借助线性代数的工具去理解图和网络，通过图形及其转化后的矩阵来得到所谓的“谱”，也就是所谓谱图论的方法。用赵宇飞的比喻，这就好比用一束强光照在一张图上，然后检查出现的颜色光谱。
团队在这些谱中发现了一些之前从未被观察到的基本事实。新的研究带来了谱图论中的一个新定理：有界度图必须具有次线性第二本征值重数。这个定理的证明需要格外的洞察力，将图的谱与图中小块的谱联系在一起。而他们的证明清晰而明了。




这篇论文为谱图论领域提供了新的见解，并为研究网络提供了数学工具。谱图论已经引出了计算机科学中的不少重要算法，如谷歌搜索引擎的PageRank算法。
这种对等角线的新理解同样对编码和通信具有潜在的重要意义。等角线是“球形码”（spherical code）的一个例子，这正是信息论中的重要工具，它允许各方通过嘈杂的通信信道互相发送信息，比如NASA与其火星探测器之间的通信。